EMシミュレーションにおける不確実性定量化の重要性

Remcom社　アプールヴァ・ペドガオンカー、グレゴリー・モス著

ほとんどの電磁（EM）シミュレーションは、おなじみのパターンに従っています。つまり、エンジニアが材料特性、形状、およびソース条件の固定されたセットをツールに入力すると、単一の決定論的な結果が得られます。しかし、単一の決定論的なシミュレーションに基づいて行われる設計上の決定、適合性の判断、および／または製造公差の設定は、実世界の性能がモデルと一致するという暗黙の前提に依存しており、実際にはそれが当てはまらないことがよくあります。

不確実性定量化（UQ）は、計算モデルや実世界における予測の信頼性を数学的に推定・測定し、決定論的な値を、信頼度を伴う現実的な結果の範囲へと変換するものです。 このようにして、UQはリスクを考慮した意思決定に不可欠な詳細な情報を提供し、EMシミュレーションの速度、精度、および実世界における予測精度を向上させるための複数の道筋を示す、ますます価値の高いツールとなっています。しかし、市販のEMシミュレーションソフトウェアツールにおいて、UQ機能が搭載されていることはほとんどありません。

この図は、複数の決定論的場を組み合わせることで算出された、重ね合わせられた場の分布を示しています。頭部内のぼやけた領域は、内部の材料に関する不確実性が、全体の場の経路をどのようにぼやけさせ、影響を与えているかを示しています。

UQが必要な理由とその仕組み

UQの最初のステップは、そのシナリオでUQが必要かどうかを判断することです。一般的なEMシミュレーションは、合格／不合格や実施／中止の判断、設計余裕の正当化、適合性やリスクの定量化、あるいは製造公差の決定のために、単一の公称値の結果が必要なあらゆる場面で有用です。しかし、そのような場合、公称値そのものよりも、公称値周辺の潜在的な偏差を把握することの方が、多くの場合、より重要となります。 さらに、シミュレーションに先立って材料や部品に関するデータが多く入手できればあるほど、ユーザーはシミュレーション結果に対してより高い信頼を置くことができます。

UQの主な利点は、設計中の製品のさまざまな使用シナリオについて、より深い洞察が得られることです。EMシミュレーションの問題においては、「答えはAで、±ある程度の偏差Bがある」という結果は、「答えはAである」という結果よりも常に有益な情報となります。こうした追加のデータや背景情報を得ることで、エンジニアは予期せぬ試験結果に応じて物理的な試作機をさらに製作する必要がなくなり、より堅牢な初期データが得られることで、設計プロセスが効率化されます。

材料特性のわずかな変化が電磁界シミュレーションの結果に影響を与える（材料の不確実性）ことから、UQはもっぱら材料に焦点を当てたものであるという誤解が広く見受けられます。しかし、電磁界シミュレーションに影響を与える不確実性には他にも種類があります。その一つが幾何学的不確実性であり、シミュレーション対象物の形状やサイズによって電磁界シミュレーションの結果にばらつきが生じることがあります。 もう一つは、各回路部品（抵抗器、コンデンサ、インダクタなど）のデータシートに明記されている「部品レベルの不確実性」です。これらの不確実性は、一般に「製造公差」と呼ばれています。どの不確実性に焦点を当てるべきかは、用途によって異なります。

材料の不確かさの例を図1に示す。これは、Remcom社の3D電磁界シミュレーションソフトウェア「XFdtd®」を用いて、耳の隣に配置された2 GHzのダイポールアンテナによって励起されたSAMヘッドファントムを示している。図1は、SAMヘッドファントムに対する3つの決定論的電磁界シミュレーションを示しており、誘電率や導電率を変化させると、内部の電界分布に目に見える変化が生じることがわかる。 図2は、アンテナが隣に配置されたSAMヘッドのXFdtdによる電気メッシュを示している。

図1：2 GHzのダイポールアンテナに曝露された3次元走査型音響顕微鏡（SAM）用頭部ファントムについて、電磁界（EM）決定論的シミュレーションにより得られた電界分布。材料特性が変化するケースを示している：(a) 基準となる組織等価特性（頭部内部^εr= 44.3、頭部内部 σ = 1.58 (S/m)、頭部外部^εr= 2.89）； (b) 修正された組織等価特性（頭部内部^εr= 39.7、頭部内部 σ = 1.43 (S/m)、頭部外部^εr= 2.64）；および (c) 別の修正組織等価特性（頭部内部^εr= 36.1、頭部内部 σ = 1.30 (S/m)、頭部外部^εr= 2.43）。すべてのシミュレーションにおいて、同一の入力電力および同一のアンテナ配置が使用されている。

図2：3D SAMヘッドファントムの2DメッシュZY断面図。この図は、3D SAMヘッドファントムの2つの層を示している。外層は損失のない誘電体であり、内層は損失のある誘電体である。

利用可能なUQ手法

EMシミュレーションに不確実性を組み込むために、さまざまなアプローチが確立されています。主に、不確実性定量化（UQ）手法は、「侵入型」と「非侵入型」の2つのカテゴリーに分類されます。 非侵入的手法では、元の計算式を一切変更することなく、異なるサンプリングされた入力パラメータを用いて複数回実行し、出力をマッピングします。例えば、固定値の入力を確率分布（正規分布、一様分布、対数正規分布など）に変換するモンテカルロ解析は、非侵入的手法とみなされます。 すべてのバリエーションを個別に実行し、その結果を統合します。モンテカルロシミュレーションは数回から数千回に及ぶ場合があり、実行時間はシミュレーション回数に比例して増加します。そのため、信号が人体に与える影響の解明、複雑な回路のシミュレーション、あるいは定期的な変化が生じやすい回路の調査など、大規模な問題に対しては、一般的に現実的な解決策とはなりません。

より専門的な侵入型手法では、基礎となる計算アルゴリズムを修正し、不確実性の定式化を支配方程式に直接組み込みます。これらは、同様の統計的知見をより効率的に得るよう設計されています。その例としては、多項式カオス展開（PCE）や確率有限差分時間領域法（S-FDTD）などが挙げられます。PCEは、複雑な計算モデルを一連の直交多項式として近似し、確率的（ランダム）な問題を事実上、決定論的な問題へと変換します。 一方、S-FDTDは、導電率や誘電率が変動するといったランダムまたは不確実な特性を持つ材料、あるいは幾何学的形状が変動する材料と相互作用する際の電磁波の挙動を計算します。この手法では、単一のシミュレーションで電磁場の平均値と分散を算出します。

侵入型PCEとS-FDTDはいずれも単一のシミュレーションであるのに対し、モンテカルロ法は複数のシミュレーションを用います。しかし、PCEとS-FDTDは計算上の複雑さが増すため、多くの技術者にとって利用しづらい状況が続いてきました。現在、これらの手法を日常的なエンジニアリングのワークフローに組み込むには、専用の統計ツールや研究レベルの取り組みが必要ですが、研究者たちは、各手法をより効率的かつ実用的なものにし、日常的なエンジニアリングのワークフローにシームレスに統合できるよう、急速に研究を進めています。

実世界のユースケース

UQでは通常、まず入手可能な設計統計データを収集し、モンテカルロ法に基づくシミュレーションを実行します。その際、信頼度が最も低い材料特性をランダム化し、その結果として得られる平均値と標準偏差を検証します。実際には、信頼性の高い統計データを得るために数百回、あるいはしばしば数千回のシミュレーション実行が必要になる場合がありますが、小規模なモデルであれば、一晩で処理できる範囲の作業です。

実用的なモンテカルロシミュレーションを行うことは、エンジニアが単一の数値ではなく、結果の分布を読み解き理解するための実践的な経験を積む上で効果的な方法です。しかし、モンテカルロ法は大規模な問題には適していないため、デフォルトの第一段階とするのではなく、その使用が妥当であると判断されるシナリオにおいてのみ、適切な出発点とすべきです。

このアプローチの実例として、人体の組織特性（組織の種類や個人によって異なる）をシミュレートするために使用される材料の分析が挙げられます。 このような分析の結果は、携帯電話やBluetooth対応腕時計の放射アンテナから放出される電力のうち、人体の組織が安全に吸収できる量の許容範囲（許容値）を設計する際に活用できます。この指標は「比吸収率（SAR）」と呼ばれます。この比吸収率が変動する場合、確立された電波放射基準がすべてのシナリオで当てはまるとは限らず、その変動性を機器の設計において考慮する必要があります。

図1に示すシミュレーションに材料の不確かさを適用することで、SARの不確かさを定量化することができます。SAMヘッド内部の材料がどの程度変動するかは不明であるため、この例ではIEC/IEEE 62209-1528に基づく不確かさの補正を適用しています。 これによると、SAMヘッドファントムの材料特性に±10%の偏差があると、平均1g（SAR）値に最大2%の変化が生じる可能性がある。

図3：平均SAR（1g）の結果。（左）は、材料のばらつきによる平均SARの2次元スライスを示している。（右）は、材料のばらつきによるSARの標準偏差の2次元スライスを示している。（カラーバーのスケールが異なる点に注意。）

平均画像（上の図3）の最大平均値は0.0396 W/kgであり、偏差画像の最大偏差値は8.4e-4 W/kgである。これは、0.0396 ± 8.4e-4 (W/kg) の平均1g SARに相当する。 これは、平均1g SAR値の約1.9%の変化としても表現できます。これは、IEC/IEEE 62209-1528規格に記載されている不確かさ補正値に非常に近い値です。

日常使いのツールとしてのUQ

UQはこれまで、設定に専門的な統計知識を必要とする学術的なコードやカスタムスクリプトに依存してきました。このアプローチは研究論文には適していますが、その結果、実務に携わるエンジニアの多くは、たとえ自分の抱える問題にUQが有効である場合でも、それを適用する機会を得られていないのが現状です。

XFdtd を使用すればモンテカルロ解析を実行でき、これにより、本来は別途行われる研究作業が、エンジニアの既存のワークフローにおける通常のステップへと変わります。実際には、エンジニアはこれまでと同じ方法で、形状、材料、ソース、境界条件から始めてモデルをキャリブレーションできます。不確実性定量化（UQ）は、本質的に別のモデリング環境というよりは、追加のワークフローに過ぎません。 エンジニアは新しいモデリングのパラダイムを学ぶ必要はなく、公称値の代わりに特性がどのように変化するかを記述し、ワークフローに従うだけで済みます。要するに、最大の変化は技術的なものではなく、考え方の変化です。ユーザーは、単一の数値ではなく、平均値と偏差の結果を解釈することに自信を持たなければなりません。

さらに、Remcom社は、より大規模で複雑な問題のシミュレーションや解法に適した、より高度な計算手法をXFdtdに実装する取り組みを進めています。今後のアップグレードにより、設計エンジニアは、問題の規模や性質に応じて最適な不確実性定量化（UQ）手法を選択できるようになります。 この取り組みの出発点は材料特性の不確実性ですが、幾何学的および回路素子の不確実性にも対応する計画もあります。さらに、XFdtdは、超高速なFDTD計算を実現するXStream® GPUアクセラレーションに対応しています。最新世代のGPUを活用することで、XStreamは、CPUのみの場合に数時間あるいは数日かかっていたXFdtdの計算を、数分で完了させることが可能にします。不確実性定量化（UQ）のための高度な計算手法は、現在のGPU実行機能とシームレスに統合される予定です。

結論

要するに、エンジニアは、設計が実環境下でも確実に機能するという確信を得るためにソフトウェアを必要としています。シミュレーションの選択肢を拡充することで、反復設計の迅速化、コストのかかる実物プロトタイプへの依存度の低減、そして統合段階へ持ち込む初期設計の品質向上が可能となり、Remcomはその能力構築の最前線に立っています。 

著者について

アプールヴァ・ペドガオンカー氏は、Remcom社の電磁界研究エンジニアであり、XFdtd研究チームの一員として勤務しています。ユタ大学で電気工学（計算電磁気学）の博士号を取得しており、同大学での研究では、FDTDにおける不確実性解析および磁化された電離層を通る送電線放射のFDTDモデリングに焦点を当てていました。 彼女の業界での経験は、不確実性の定量化、信号および電源の整合性、MRI技術のためのシステムエンジニアリングなど、多岐にわたる。

グレゴリー・モス氏は、Remcom社のXFdtdリサーチマネージャーであり、計算電磁気学（CEM）業界で20年以上の経験を有しています。 彼は、全波CEM市場の過去と現在について包括的な理解を持っており、有限差分時間領域法（FDTD）、有限積分法（FIT）、不連続ガレルキン時間領域法（DGTD）、有限要素法（FEM）、モーメント法（MoM）などに基づく、現在の商用およびオープンソースのソフトウェアパッケージの長所と短所についても熟知しています。 また、回路、静電、運動粒子およびプラズマシミュレーション向けの計算ソルバーの開発においても豊富な経験を有しています。

Remcomについて

Remcomは30年以上にわたり、民間企業、政府機関、研究機関向けに電磁界シミュレーションおよび無線伝搬シミュレーションソフトウェアを提供してきました。当社の革新的なソフトウェアとエンジニアリングの専門知識は、設計チームが開発期間を短縮し、製品の性能を向上させ、アンテナ設計、無線通信、自動車用レーダー、航空宇宙、防衛など、幅広い分野における複雑な電磁界の課題を解決するのに役立っています。柔軟なライセンスオプション、迅速なテクニカルサポート、そしてカスタマイズされたソリューションにより、あらゆる規模の組織が自信を持って製品開発を加速させることができます。

リソース

• 3次元生物ファントムの電磁気的不確かさの解析 | IEEE会議論文 | IEEE Xplore.
• 微弱散乱環境における高効率FDTD離散平面波源を用いた確率的散乱場FDTD定式化 | IEEEジャーナル＆マガジン | IEEE Xplore。
• S. M. Smith および C. Furse、「電磁界の統計的変動の解析のための確率的FDTD法」、IEEE Transactions on Antennas and Propagation、第60巻、第7号、3343-3350頁、2012年7月、 doi: 10.1109/TAP.2012.2196962.
• K. Masumnia-Bisheh、 K. Forooraghi、M. Ghaffari-Miab、C. M. Furse、「生体組織における電磁界およびSARの不確実性定量化のための幾何学的確率論的FDTD法」、『IEEE Transactions on Antennas and Propagation』、第67巻、第12号、7466-7475頁、2019年12月、 doi: 10.1109/TAP.2019.2930171.
• 多項式カオス展開を用いた、磁化が変化するプラズマにおける電磁波伝播の解析。