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FDTD 法

FDTD シミュレーションソフトウェアを使用する理由

周波数領域には多くの電磁界シミュレーション技術が適用されているが, FDTD 法は時間領域におけるマクスウェル方程式を解く.これは、電磁界値の計算が時間的に離散的なステップで進行することを意味します。時間領域アプローチの利点の1つは、プログラムの1回の実行からブロードバンド出力を提供することです。しかし、FDTD 法を使用する主な理由は、問題サイズが大きくなるにつれて、この手法の優れたスケーリング性能が発揮されることです。未知の数が増えるにつれて、FDTD 法は他の方法を効率よく上回っします。また、FDTD 法は、無線デバイスからの生物学的効果のための電磁シミュレーションを行うための好ましい方法として同定されている [1]。FDTD 法は、最も効率的なアプローチであることが示されており、生体組織への電界侵入の正確な結果を提供しています。

 

携帯電話のモデルは、モトローラモビリティ、LLC/Lenovo の礼儀を提供しました。

 

簡単な要約-FDTD シミュレーションの基礎

FDTD 法では, 空間と時間の両方を離散セグメントに分割する.スペースは、波長に比べて小さい箱型のセルに分割されます。電界はボックスの端にあり、磁界は図1のように面に配置されます。フィールドのこの方向は、イーセル [2, p. 37] として知られており、FDTD の基礎である。時間は、各ステップが、フィールドが1つのセルから次に移動するのに必要な時間を表す小さなステップに量子化されます。電界からの磁界の空間におけるオフセットを考えると、時間に対するフィールドの値も相殺される。電界と磁場はリープフロッグスキームを使用して更新され、最初に電界、次に磁気、時間の各ステップで計算されます。

図 1: ラベルの付いたフィールドコンポーネントを持つイーセル

図 1: ラベルの付いたフィールドコンポーネントを持つイーセル

多くの fdtd セルを結合して3次元ボリュームを形成すると、その結果は fdtd グリッドまたはメッシュになります。各 FDTD セルは、隣接するエッジとフェースとオーバーラップするため、慣例により、各セルには、それに関連付けられた共通のノードから始まる3つの電界があります。FDTD セルの他の9つのエッジの電界は、隣接する他のセルに属します。各セルには、図1に示すように、電界の共通節点に隣接するセルの面を起点とする3つの磁界もあります。

メッシュ内では、特定の場所でフィールドを計算するための方程式を変更することによって、コンダクタや誘電体などの材料を追加できます。たとえば、完全導電性のワイヤセグメントをセルエッジに追加するには、完全な導線内の電界がゼロであるため、電界を計算するための方程式をゼロに設定するだけで済みます。完全導通材料として定義された多数のエンドツーエンドセルエッジを結合することにより、ワイヤを形成することができます。他の材料や他の構成を導入することは同様の方法で処理され、それぞれが材料の特性に応じて、電気または磁界のいずれかに適用することができます。多くのセルエッジを材料に関連付けることにより、図2に示す誘電体球のような、FDTD グリッド内に幾何学的構造を形成することができます。図に示されている各小さなボックスは、1つの FDTD セルを表します。

図 2: FDTD グリッドでメッシュ化された誘電体球個々のセルのエッジ (電界の位置) は、重なり合うグリッド線として表示されます。

図 2: FDTD グリッドでメッシュ化された誘電体球個々のセルのエッジ (電界の位置) は、重なり合うグリッド線として表示されます。

 

小さなボックスの寸法であるセルサイズは、時間内のステップサイズだけでなく、計算の上限周波数も決定するので、どのような FDTD シミュレーションで最も重要かの制約です。一般的な目安として、波長あたり10セルで最小解像度、つまり上限周波数制限を設定します。実際には、基板の厚さやワイヤの長さなど、シミュレートする構造の寸法や特徴を解決するために、セルサイズがこれより小さくなることがよくあります。

励起は、さまざまな方法で、FDTD シミュレーションに適用することができます。1つの方法では、1つまたは複数の場所でフィールド更新方程式にサンプリングされた波形を適用することによって、不連続な位置でジオメトリをエミュレートします。各ステップでは、その時間帯の波形の値がフィールド値に追加されます。周囲のフィールドは、各セルの特性に応じて、導入された波形を FDTD グリッド全体に適切に伝搬します。収束の状態に達するまで、計算を続行する必要があります。これは通常、すべてのフィールド値が実質的にゼロ (少なくともピークから 60dB) に減衰しているか、定常状態に達していることを意味します。

基本的なイーセルへの改良

図1の正方イーセルは、一般的には矩形であることができる。x、y、z 方向のセル間の間隔は、問題のあるスペース全体で変化します。これにより、高導電性材料の小さな特徴の周りなど、強いフィールドの領域により多くのセルエッジを配置することができます。セル内で、FDTD の標準更新方程式は、例えば、セルサイズよりも薄いワイヤを可能にするために、多くの方法で精製することができます。もう1つのリファインでは、主軸に対して任意の角度でセルと交差するサーフェスを持つオブジェクトを使用できます。これらの「等角」細胞は、細胞の体積内の物体表面の曲率を考慮してさらに精製することができる。

図3は、携帯電話の一部のジオメトリを示しています。わかりやすくするために、外側のケースを含む多くの部品の可視性は、アンテナの近くの領域を示すためにオフになっています。電話機の FDTD メッシュの小さな部分は、単純な長方形のセルを使用して図4a に示されています。図4b では、電話網の同じ部分が示されているが、このとき、物体の表面の部分を含む細胞のための等角治療のタイプを使用する。図5は、等角メッシュの表面のより大きなビューを示しています。

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図 3: 携帯電話のアンテナ部

 

図 4a: 単純な矩形メッシュを使用したアンテナのコーナーのメッシュビュー

図 4b: コンフォーマルメッシュを持つアンテナのコーナーのメッシュビュー

 

図 5: 携帯電話アンテナのコンフォーマルメッシュ

 

材料

FDTD シミュレーションソフトウェアは、多種多様な電気・磁気材料のシミュレーションが可能です。もちろん、最も基本的な素材はフリースペースです。すべての FDTD セルは空き領域として初期化され、空き領域を置き換えるために別の材料が追加されない限り、すべてのセルエッジのフィールドは自由空間方程式を使用して更新されます。

完全に伝導する電気および磁気材料はこれらの材料内にあるあらゆるセル端のためのゼロに電気か磁界を置くことによって模倣される。これらの材料のための計算のシンプルさのために、可能な限り、実際の導体ではなく、完全に導体を使用することをお勧めします。FDTD では銅などの導体を模擬することができますが、銅材料の電界を計算する方程式は、完全な導体の場合よりも複雑であるため、計算に時間がかかります。もちろん、わずかな割合の FDTD セルしか導体として定義されていない場合、実行時間の差はほとんど目立ちません。

周波数に依存しない誘電体および磁性材料は、電気材料の比誘電率と導電率の構成パラメータ、または磁性材料の比透磁率と磁気伝導度によって定義されます。多くの場合、広帯域計算を行う場合でも、これらの材料は、パラメータが周波数範囲にわたって大きく変化しないので適切である。

場合によっては、周波数に依存しない材料が適切でなく、代わりに周波数依存性、または分散性の材料を代用する必要があります。周波数依存材料の一般的な例としては、ヒト組織、光周波数で励起される金属、広い帯域幅にわたる誘電体などの高含水材料が挙げられます。XFdtd に含まれているのは、プラズマ、ローレンツ材料、異方性磁気フェライト、周波数独立異方性誘電体などの電気および磁気デバイおよびドルーデ材料をシミュレートする機能です。これらの材料は、いくつかの周波数で負である誘電率または浸透率を有することができ、それらはメタマテリアル肉眼的をシミュレートするために効果的です。また、FDTD 法は非線形材料のシミュレーションにも特に有効で、そのうちのいくつかは XFdtd に含まれています。

ニアゾーン対ファーゾーン

任意の計算について、シミュレートされる構造のジオメトリは、特定の位置にあるセルのエッジを特定のマテリアルに設定することによって定義されます。一般にグリッドまたはメッシュと呼ばれる、FDTD ジオメトリ空間全体は、これらのセルの3次元ブロックで構成されます。この3次元体積は, データ記憶の観点から, FDTD 法における近傍領域であると考えられる.FDTD グリッドの任意のエッジのフィールド値は、XFdtd に「ニアゾーン」ポイントを保存することによって、時間の関数として観測されることがあります。定常状態のフィールドマグニチュード、特定の吸収率、S パラメータ、インピーダンスなどの他のタイプのデータは、グリッド内の適切なポイント、サーフェス、およびボリュームにも格納されます。

ジオメトリの遠方界での点のサンプリングを可能にするのに十分な大きさの FDTD グリッドを作成することができます。一般的には、未知数 (セル) の数が多くなる可能性が高いため、コンピュータのメモリと計算時間に関しては非常にコストがかかります。各 FDTD セルの最大サイズは波長の10分の1であるため、多くの波長を構造から遠ざけるためには、多数のセルが必要になることに注意してください。ほとんどの場合、これは far フィールドの結果を監視する適切な方法ではありません。

フィールド値を遠方ゾーンに変換し、輻射ゲインまたはレーダー散乱パターンを計算するためのより実用的な方法は、変換を使用して、FDTD グリッド内のニアゾーン値を、ある位置から遠いフィールド値に変換することです。グリッド。これを行うには、ジオメトリをボックスに囲み、このボックスの外側の面にフィールドを格納して、ファーゾーンの一般的な問題を解決します。このボックスの面は、fdtd グリッドの各外縁から5つの fdtd セルに配置されています。変換を有効にするには、FDTD ジオメトリのすべての部分がボックス内に含まれている必要があります。

XFdtd で使用される極座標系は、図6に示すように、x 軸から参照される方位図法 (φ) 角度と z 軸から参照する仰角 (θ) 角度で定義されます。この座標系は、ファーゾーンの位置を特定し、入射面の波の方向を定義するために使用されます。

図 6: ファーゾーンおよび入射面の波の方向に使用される極座標系

広帯域および定常状態の計算

一般に、1回の計算では、余分なコンピュータリソースを必要とせずに、広い周波数範囲の結果を得ることができるため、FDTD を使用して広帯域計算を実行します。特定の周波数のデータが必要な場合、フーリエ変換を用いて広帯域計算から定常状態データを計算することができる。

データ対周波数の一般的な例としては、特定の周波数におけるアンテナパターン、比吸収率 (SAR)、電界および磁界マグニチュード、磁束マグニチュード、伝導電流、および「回路」などの生物学的用途があります。S パラメータ、グループ遅延、インピーダンス、電力、効率などのタイプ情報

正弦波励起は、関心のある周波数範囲の近く、しかし外側の強い共鳴を回避する場合などの特定の時折の場合に所望され得る。

外部輻射境界

セルの3次元グリッドは、FDTD ジオメトリを形成し、各セル位置で更新されたフィールドは、隣接するフィールドに依存しています。ただし、メモリの制限により、グリッドはある時点で終了する必要があり、このため、グリッドの外縁のフィールドを正しく更新できません。この状況を修正するために、外部輻射境界条件は、FDTD グリッドのエッジに適用されます。

外部輻射境界は、FDTD グリッドから境界に向かって伝搬するフィールドを吸収する方法です。これらのフィールドを吸収することで、グリッドは永遠に伸びるように見えます。外部境界の性能は、FDTD 計算の精度において重要な要素であり、それらを正しく使用するためには注意が必要である。

場合によっては、吸収1ではなく反射境界が好ましい場合がある。問題の対称性を利用するために、完全に伝導する境界 (電気または磁気) を使用して、FDTD 計算でフィールドをイメージすることができます。周期境界条件は、大きな対称ジオメトリの単一の単位セルをシミュレートする場合に便利です。

コンピュータリソース

FDTD は計算量の多い方法であり、最も妥当な演算は、高速なコンピュータと少なくとも数ギガバイトのコンピュータメモリを必要とします。ほとんどのアプリケーションでは、計算に必要なコンピュータメモリの量を見積もるのは非常に簡単です。メモリ使用量の最も重要な要素、および実行時間の大部分は、テスト対象の構造を表すために使用される FDTD セルの数です。各 FDTD セルには、3つの電界と3つの磁界という、6つのフィールド値が関連付けられています。さらに、各セルに6つのフラグが関連付けられており、6つのフィールド位置のそれぞれに存在するマテリアルタイプを示します。フィールド値は実数で、各4バイトの長さであり、フラグはそれぞれ1バイトである場合があります。これにより、フィールドに24バイトの FDTD セルごとのメモリ使用量と、合計30バイトのフラグの6バイトが得られます。必要な合計メモリをバイト単位で見積もるには、1セルあたり30バイトの値で FDTD セルの数を乗算するだけです。計算には多少のオーバーヘッドがありますが、一般的にはかなり小さいです。注目すべき例外の1つは、方向ごとに 6 1 次元の実数値配列を割り当てる広帯域の遠方ゾーンの角度です。

計算機プロセッサの性能は様々であるため, FDTD 演算の実行時間の推定はより複雑である.推定の1つの方法は、実行される操作の合計数を計算することです。1セルあたり約80の操作があり、FDTD 計算では時間ステップごとに実行されます。操作の合計数は、セルの数、時間ステップの数、および時間ステップごとのセルあたりの80操作の係数の積から検出されます。プロセッサの浮動小数点性能の値がわかっている場合は、実行時間の値を計算できます。一般的には、より良い推定方法は、特定のコンピュータ上の単純な問題の実行時間を決定し、その後、所望の計算と単純なものとの間の操作の数の比率によって時間をスケーリングすることです。

FDTD の計算速度を上げるには多くの方法がありますが、プログラムにはかなりの労力が必要になります。コンピュータの複数の cpu を並列に使用したり、複数のコンピュータを並列に使用したり、キャッシュの計算ループを最適化したり、SSE や AVX などの cpu で並列メソッドを利用したりするのが最も効果的です。FDTD ソフトウェアは、比較的少数の更新アルゴリズムを並列に実行する多くのセルの概念が、ビデオディスプレイを更新するために開発されたメソッドにうまく適合するため、GPU プロセッサでの計算に特に適しています。

参照

  1. c 95.3.2002、「無線周波電磁界への人体曝露に関する測定および計算のための推奨された練習、100kHz に300GHz」、非電離放射線障害に関する IEEE 規格および調整委員会28、4月2002。
  2. k. s. クンツと r. j. Luebbers、「電磁気学のための有限差分時間領域法」、ボカ・ラトン、FL: CRC プレス、1993。

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